Hello April 4月2日，春天你好✌️

   反演变换在几何最值中的应用

——极客杰少

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配景先容       

由于最近通常看到有线段乘积为定值大约告诉某一图形的面积为定值，以致仅仅告诉两共边相似或旋转相似等条目的几何最值题，且主动点的泄漏轨迹为直线型，然后问你从动点的轨迹或求与从动点干系的线段长度，或求加权线段长度的几何最值题.那么，要是用几何画板去考证，全球齐会惊羡的发现，主动点轨迹是直线而从动点的轨迹却不是直线，而是一个圆.这个和咱们领会里的主从联动“瓜豆旨趣”却不一样哟,固然这些题投降不错用庸俗的初中时局贬责，也不错用更高档的学问去贬责.

由线生圆，这个未便是反演变换的特色吗？那这类几何最值题，可否用反演变换来作念呢？谜底是投降的，由于杰少本东说念主减师半德，这里就浅谈一下即可，咱们只需要学会应用就不错啦！

我本想通过收集搜索反演变换与几何最值问题，成果吃了一个闭门羹😭，搜到的齐是单独的反演变换或单独的几何最值的老师，莫得找到两者的联结，是以，这也让我有了写这个著作的冲动😂.

好啦，谎话未几说了，底下咱们插足正题✌️

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第一部分  反演变换

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知说念反演变换的读者，不错跳过第一部分,径直看第二部分哟😉，不知说念的不错链接往下看↓

当先，全球要知说念反演的界说及对应的论断，这里简便先容.全球也不错我方去百度，大约去看视频哟^_^.

界说：设在平面内给定少量O和常数k（k≠0），对于平面内任性少量A，细目A′，使A′为直线OA上少量，况兼有向线段OA与OA′承诺OA·OA′=k，记作I(O,k)，咱们称这种变换是以定点O为反演中心，以k为反演幂的反演变换，简称反演. A′与A是对于反演中心O的互为反演点.

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如上图所示，不妨设OA·OA′=k=r2，则r=√k,不丢脸出，半径为r的⊙O上的点以O为反演中心反演后的点是其自己，也便是说圆上的总共点反演后齐在圆上，然后圆内的点，反演后齐在圆外，圆外的点反演后齐在圆内.

越过地，当圆内的少量无限邻接圆心O时，反演后的点就在无尽远方了，相同地，无尽远方的点反演后在反演中心O处.

   底下咱们仅计议直线l对于⊙O反演后的图形.咱们从直线和圆的位置关系进行简便的计议：

①当直线l与圆相交且过圆心O时，如图1：显着，直线l反演后是其自己；

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②当直线l与圆相交且不外圆心O时，如图2，论断：直线l反演后是圆D；

不丢脸出，直线l与圆A的两个交点A，B的反演点照旧其自身，且该直线上在⊙O里面的点被反演到⊙O的外面，且由于该直线不外⊙O的圆心，是以AB上的点被反献艺去会酿成一段法例的弧（优弧AB ）.直线l上在⊙O外部的点会被反演回⊙O圆的里面酿成一段法例的弧（劣弧AB），且无尽远点的反演点是⊙O的圆心.

过点O作OC⊥AB交优弧AB于C′，则C的反演点为C′，设OC′的中点为D，则直线l对于O点反演后酿成⊙D，由于OC·OC′=OA2，则⊙D的半径为1/2OC′=OA2/(2OC)

③当直线l与⊙O相切时，如图3，不错发现：直线l对于O反演后的的图形亦然圆，且该圆是过O点且与⊙O内切的圆，记为⊙D，设切点为C，则A于C重合，则⊙O的半径为OC/2.

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④当直线l与⊙O外离时，如图4，不难发现：直线l对于O反演后的的图形依然是圆，且该圆是过O点，记为⊙D，过点O作OC⊥l于C，交⊙D于C′，则OC′=OA2/OC，是以⊙D的半径为OC′=OA2/(2OC).

四种情况计议终了，那么咱们也不错下论断了：

(1)当直线历程反演中心时，反演图形是其自己；

(2)当直线不历程反演中心时，反演图形是一个圆.设反演幂为k，反演中心到直线的距离为d，则反演圆的半径为k/(2d).

更多对于反演变换的内容，全球不错去百度搜索学习哟，这里就不再作念过多先容了.

底下，咱们就来老师反演变换在几何最值中的本色愚弄.

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GO ON ↓↓

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第二部分  反演变换愚弄

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反演变换的表面学问咱们依然弄了了了，接下来杰少就指挥全球一齐来探索反演变换在初中几何最值中的愚弄.

当先咱们来看一说念题目，这说念题是杰少的一个学生问的题目，神话来自成齐七中.

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极师引路

例1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，⊙C的半径为4，P是直线AB上一动点，过P点作⊙C的两条切线，切点分袂为M、N，绽放PC，交MN于点Q，绽放AQ，则AQ的最小值是__________.

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全球不错暂停一下，先我方想考一下这个题哟，O(∩_∩)O哈哈~！

Okk，底下杰少对这个题作念一个简要的分析解答.

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如图，绽放CN，由已知PM、PN是切线，则CN⊥PN，MN⊥PC，

由射影定理得：CN2=CQ·CP=16，我丢！这样快就出现反演变换了I(C,16)，哈哈，欢快吧.显着，C是反演中心，反演幂k=16，P、Q两点互为反演点，

∵P的轨迹是直线，且在⊙C外，

∴Q的轨迹是过C点的圆，设圆心为D，绽放DQ，DA，

过点C作CE⊥AB于E，则Q的圆心D在CE上，

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当A、Q、D三点共线，且Q在A、D之间时取等号.

到此，咱们就贬责了这说念题目，是不是还挺简便的呀，哈哈.

底下咱们来一个难度略微加大少量的题目.

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极客之说念

例2.如图，四边形ABCD中，∠DAC=∠ABC=90°，AB=4，若△ACD的面积为12，则BD的最大值是__________.

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全球也不错先暂停想考一下哟，作念一作念，看下能不可用反演变换来作念.

好啦，底下杰少用反演变换来作念一下这个题.

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如图，∵∠DAC=90°，S△ACD=12，则AD·AC=24，

你品，你细品，是不是有点儿像反演变换了？关联词咱们会发现，AC、AD并非共线，要是是共线的话，此题基本上就依然贬责了。是以，接下来，咱们便是“想方设法”的让AC、AD共线，何如办？

防卫到，∠DAC=90°为定值，那咱们就不错把AC绕点A逆时针旋转90°至AC′，那样AD和AC′就共线了，也便是说AD·AC′=24，即I(A,24)，

反演中心A，反演幂k=24.

∴咱们把△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AB′C′，则C′在定直线B′C′上泄漏，是以C′的反演点D在过反演中心A的圆上泄漏，设为⊙O，到此基本上就贬责了.

而A到B′C′的距离d=AB′=AB=4，B′的反演点为B″，

∴⊙O的半径r=k/(2d)=3,

∴OA=OC=r=3，由勾股可得OB=5，

∴BD≤OB+OD=5+3=8，

当B、O、D三点共线，且O在B、D之间时取等号.

Okk👌，全球是不是有点儿嗅觉了呀，哈哈，咱们最其后一个好不好，然后就精(xia)心(bian)准备几说念题，供全球再练一练^_^.

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跻峰造极

例3.如图，在四边形ABCD中，BC=2，AC瓜分∠BAD，且∠ADC=∠ACB，若△ABC的面积为1，则DB+√5DC的最小值是__________.

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全球是不是对这个题目嗅觉相比熟练呀，也便是昨天（2020年4月1日）早上“发现数学的好意思”公众号上的一个题目，全球不错暂停驻来，再想考一下，何如作念哟.

好啦，话未几说啦，咱们来看下杰少的解答.

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先放一个图，我丢哟，图齐快糊了！先无论缓助线何如来的，咱们先来分析一波.

由已知条目，显着不错取得△ADC∽△ACB，这未便是共边相似吗？

因此，咱们不错取得AC2=AD·AB，哈哈，乘积式出现了，是不是很欢快呀?

关联词，杰少要说关联词了，全球有莫得发现这个乘积不是定值呀[手动捂脸]，

要是乘积是定值，谜底就差未几依然出来了，就和例2没哈区别了是吧。杰少也不必冠上加冠出这个例3了。因此，咱们需要进一步革新，取得咱们需要的乘积为定值的线段.

例2咱们通过旋诊治化取得了共线边乘积为定值，显着，杰少在这里不会链接出一旋转就出定值的了嘛，我想全球依然猜到了，我这里融会过平移取得乘积为定值的线段.

咱们把△ABC向右平移2个单元到△FCE，则△ADC∽△FEC，

哈哈，这里就酿成旋转相似了哟，咱们齐知说念，旋转相似一拖二（讲解一下，便是一组旋转相似，不错推导出另一组旋转相似，这里不是我要老师的内容，不熟练的不错去百度搜索学习一下），

∴由△ADC∽△FEC⇔△CDE∽△CAF，更神奇的是，此时咱们不错取得这样一个乘积式DE·CF=AF·CE=4，哈哈，乘积为定值，距离到手很近了，底下就很克己理了，防卫到，E为定点，那就把CF放到ED边上就贬责了嘛，是以不错议论延伸ED交FA于G，则∠FGE=∠DEC=∠AFC=∠FCE，

∴EG=CF，则ED·EG=DE·CF =4，反演变换出现，I(E,4)，E为反演中心，k=4为反演幂，防卫到G在定直线GF上泄漏，则G的反演点D在过反演中心E点的圆上泄漏，设为⊙O，然后过点E作EH⊥FG于H，

∵△ABC面积为1，则d=EH=1，∴⊙O的半径r=k/2d=2，

∴OD=OE=r=2，∴勾股可得OB=2√5，

到此基本上就贬责了D点泄漏轨迹的问题了，底下便是全球越过熟练的阿氏圆问题（不了了的不错自行百度了解阿氏圆最值），

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至此，本题依然取得齐全的贬责了哟^_^.

Okk，咱们的反演变换的愚弄就老师到这里，底下有益思意思的伙伴，不错稽察第三部分的题目，练练手.

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​第三部分  反演变换锻真金不怕火

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阐述：本部分题目，齐是杰少瞎编的题目，莫得给全球配谜底，全球作念完后，也不错筹商QQ：97407923，网名：续写费马的一纸空缺，进行疏导.

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第1题：外行

如图，E是正方形ABCD的AD边上一动点，F是BE上少量，过F作FG⊥BE交射线BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，若AB=3，且AE·BG=6，则FH+2BH的最大值是__________.

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第2题：青铜

如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠DAC＝60°，AB＝2，△ACD的面积为3√6，则BD的最大值是________.

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第3题：白银

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，D是△ABC里面一动点，F是AC上的点，且承诺∠DAB＝∠DBC，∠ADF＝∠ABD，E为AB中点，绽放EF，作DG⊥EF于G，绽放CG，若BC＝3，则CG的最小值是__________.

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第4题：王者

如图，在△ABC中，BC=2，D是AC上的点，且∠ABD=∠ACB，E为D对于AB的对称点，绽放CE，若△ABC的面积为2，则CE的最小值是__________.

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第5题：修罗

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=18，BC=24，O为AC中点，D是OB上少量，且OD=1，过点B作直线BE⊥OB，P是DE上少量，且DP·DE=112，M、N分袂是BC、AC上的点，则2PB+5PM+3MN的最小值是__________.

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好啦，反演变换的内容，杰少就写到这里，谢谢全球的阅读！可爱的话不错保藏或转发哟^_^

2022年4月2日杰少于成齐

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